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现代极化理论——贝里相理论

2021-05-10 16:22365在线体育比分 人已围观

简介贝里vs布里流浪本来按照原定计划,这一篇是打算写凝聚态体系里的经典拓扑激发,但是考虑前面的内容阐述物理学中的拓扑效应基于数学的视角,因此打算从物理的视角阐述一下拓扑效应。而极化这...

  本来按照原定计划,这一篇是打算写凝聚态体系里的经典拓扑激发,但是考虑前面的内容阐述物理学中的拓扑效应基于数学的视角,因此打算从物理的视角阐述一下拓扑效应。而极化这个极为古老的课题十分适合阐述拓扑观点(个人观点)。物理学家研究各种拓扑效应或许不会太过深究里面的数学对应(同胚,同伦等),但是他们有一套基于物理视角分析问题的方法,他们往往会把拓扑看作是系统全局特征衍生出来的性质。或许物理学家用的数学在数学家看来是并不准确的,但是往往也能得到正确的结果,这或许是所谓的物理直觉吧。

  在我看来,所谓拓扑学,就是研究一个对象剧烈形变后,即使原来所有的局域特征都丧失了,仍然保留的一些性质。这种图像在物理学在似乎意味着整体性或者全局性,那么什么时候才会出现整体性或者全局性呢?经典力学的时代,我们便已经了解了守恒律,看到了对称性的身影,而拓扑学作为古老的学科,为什么我们却没有观测到太多的拓扑效应呢?

  故事或许可以从微分方程说起。在经典力学的时代,很多模型的微分方程都是可解的,对于精确可解的模型,方程的解便可以说明模型所有的物理性质,粒子的过去现在未来都是确定的,所有的任务差不多是解微分方程就行了。但是到了量子力学的时代,人们发现只有极少数的薛定谔方程是可解的,在大部分问题无法找到解时,人们便开始研究哈密顿量的变换关系,试图寻找像守恒律一样不依赖解的普适规律,此时对称性在物理学便变得日益重要。而在经典力学时代,粒子或者质点的概念是有局域性,因此全局的观点在经典力学的单体问题里显得并不是十分重要,即使是在统计物理里,一个系统往往也是通过大量的局域粒子的图像刻画,因为粒子的概念太符合我们的直观想象了。即使是对于一些少体系统,比如

  这样的耦合的振子系统,是两个木块平衡时的图,是两个木块振动时候的图,分别是木块的振幅,是弹劲系数,是木块质量。容易写出这个系统的运动方程:

  这样方程组是耦合的微分方程,我们无法直接求解,因此一种“古老的”方法是寻找这个振子系统的简正模,也就是进行变量变换,新的变量的微分方程则是解耦的。如:

  这种“古老的”技巧在凝聚态物理有重要应用,比如晶格振动,晶格振动就是一大群原子的振动模型,这些原子相互之间有相互作用,各个原子之间的振动都是相互关联的,但是我们选择一组简正模,可以把原子振动变换到另一个空间,在这个空间里,所有的变量都是没有关联的声子,因此所有的运动方程都解耦了,这就类似于把原来全局的物理量转换成了局域的玻色子,这时研究的还是一种局域性。同理,磁振子,等离激元等都是类似的操作。因此,朗道理论认为,凝聚态多体系统的低能激发是元激发。

  但是,当我们找不到一组变换可以使方程解耦的时候,那该怎么办?这时,我们就只能处理一个整体相互关联的系统。这时候全局性(拓扑)便开始显现出来。如果我们把上图平衡位置点看作是正电荷,木块看作是负电荷,那么木块振动过程就会产生电偶极矩,但是原则上这两个电偶极矩是耦合的,如果耦合强度比较弱,那么定义的电偶极矩当然是没有问题的。但是当耦合强度很强时,我们是否能这样定义局域的电偶极矩呢?

  此外量子力学相比于经典力学而言,还有一个特殊的物理现象——纠缠。纠缠代表了非定域性,也是一种整体性,因此,对于量子物理而言,全局性更加重要,也更容易观测到一些拓扑效应。

  我们知道,在平行的均匀带电平面间插入电介质,两板间的总电场会减小,电介质内会出现极化电荷,这种现象叫极化,并且有度量极化的物理量,极化强度矢量,经典理论认为,极化的来源有两个:

  第一个是电介质内本身没有电偶极矩的分子,在外电场的作用下,正电中心和负电中心分离产生电偶极矩,从而产生电偶极矩,这种极化叫位移极化。如上图所示。

  第二个则是,原来的分子有电偶极矩,但是由于分子热运动,使得平均的电偶极矩为0。但是加了外场以后,电偶极矩顺着外电场的方向偏转,使得平均电偶极矩不为0,这种极化称为取向极化。如上图。因此在这种经典微观图像里,对极化强度矢量的定义为:

  宏观的极化强度矢量定义为宏观体积元内所有分子电偶极矩的平均。这种图像意味着宏观极化可以由局域的可区分的极化单元刻画。我们容易知道,对于局域的电子波函数,这个图像是正确的,但是如果像是上面的弹簧振子模型一样,电子波函数显示出非局域性,这时候经典图像便会出现问题。

  这是晶格电极化电荷密度的图,黑色小球代表了原子,阴影部分是负电荷区域,箭头表示诱导电场的方向,显然电荷密度呈现周期分布的特点。我们可以把虚线内的电荷分布定义为晶胞的电偶极矩,此时,宏观极化可以由局域的晶胞电偶极矩刻画。

  这是一种铁电材料晶格电极化后电荷密度的图,箭头方向也是电场方向,阴影区域也是负电荷分布区域,显然,电荷密度有周期分布特征,但是在这种电荷分布的晶格中,我们无法找到一种明确的,不含糊的划分方式,像晶格一样定义晶胞的电偶极矩。这是因为,这种铁电材料的化学键有共价键和离子键的混合特征,使得电子表现出强烈的非局域性。在这种非局域性图像里定义一些局域的物理量,就会出现问题。

  第一种就是一种类似于经典图像的定义,定义局域的晶胞极化强度矢量,用局域物理量刻画宏观极化强度。但是由于晶胞的选取有任意性,在电子非局域背景下,同一晶格,选取不同的晶胞将导致计算出来的极化强度矢量不一致。可以证明,如果对所有可能晶胞选取方式计算出来的晶胞极化强度矢量进行平均,得到的极化强度矢量将会等于0!

  而第二种定义是把积分扩充到整个宏观样本,这时候定义出来的极化强度矢量是非局域物理量。但是由于积分实际包含了样本表面,这使得对于同样的样本,即使内部条件不变,表面发生改变,算出来的极化强度矢量将会有很大不同。而一般我们把极化强度矢量看作是体物理量,它只与样本的内部有关而不是与样本表面有关,因此,这种定义也无法使我们满意。

  而第三种定义则是从极化强度矢量与极化电荷密度关系出发,但是由于极化强度矢量加上散度为0的矢量也是满足同样的方程,这就说明这种定义的极化强度矢量不是唯一确定的。

  种种定义极化强度矢量的方式均宣告失败,这使得我们需要寻找新的定义,在此之前,我们看看实验上是如何测量极化强度矢量是有益的。

  在实验上,我们一般不是直接测量极化强度矢量,而是测量与极化相关的系数,例如介电常数,热释电系数,压电张量,动力学电荷。实际上,这些系数都是与极化强度矢量的变化量有关,而不是极化强度矢量的具体值有关。

  我们来看看铁电材料是如何测量极化强度矢量值的。铁电材料一般表现为破缺对称性的非中心对称结构,这使得材料即使在平衡态时,极化强度矢量的值也不为0,这种现象称之为自发极化。下图是的晶格结构:

  圆球表示原子,箭头方向表示原子的运动方向,左图和右图是对称性等价的,但是原子的运动方向相反,极化强度矢量的大小相等,方向相反。由于存在对称性等价的不同结构,因此,极化强度矢量在加外场的情况下会出现极化反转的现象。如下图所示:

  这是的极化曲线,两点分别代表材料的两种对称性等价的结构,我们通过调控电场使得极化强度矢量从反转到,测量反转过程中产生的电流,然后我们定义零场时的极化强度矢量为。这实际上也是测量极化强度矢量的变换量而不是之间测量其绝对值,因此,我们可以说,在物理上,真正重要的量是极化强度矢量的变换量而不是,我们也不可能把当作是单值函数,它在某些时刻必定是多值函数。

  虽然这里面具体的拓扑对应还不是非常清楚,但我认为,作为映射,把欧几里得空间的点映到了另一个空间上去,因此,联系了两个空间的拓扑,所以,极化强度矢量的多值性或许是来源于两个空间的不同胚。

  我们知道真正重要且单值的物理量是,那么新的定义便是对进行定义。利用关系式:

  由于电介质是绝缘体,因此电流密度,所以,因此电流是绝热电流,由于绝热电流与贝里曲率有关,下面给出能带绝缘体的极化强度矢量表达式

  以上,我们说明了,由于电子非局域性使得定义的局域电偶极矩描述极化并不准确,极化变成一种全局的物理量,由于与贝里曲率相关,这种全局性也和拓扑相关,在多体物理里,全局性或者拓扑的观点变得日益重要,最新的理论显示,极化可以看做是一种非量子化的拓扑响应(我还没看懂),下面是原文的链接

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